Это когда я просто сворачиваю приложение, переключаясь на другое, или когда я закрываю его через меню приложений (левая кнопка), а оно все равно продолжает работу никак незаметно для меня?
Например, почтовый клиент работает в фоновом режиме - время от времени, "просыпается" и смотрит, нет ли новых писем. Если нет, снова в фон уходит. Если есть - выдаёт оповещение. То же самое относится к WhatsApp, Telegram и прочим подобным приложениям. Если принудительно закрыть, то уведомления получишь только после принудительного запуска.
Фоновый режим это такой режим, когда приложения и некоторые процессы работают без участия пользователя. Например, это может быть какой-нибудь мессенджер...